三角形高线为什么相交一点（三角形高线为什么交于一点）
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三角形三条高为什么会交于一点？
证明：三角形三条高线交于一点，这点称为三角形的垂心．
已知：△ABC中，三边上的高线分别是AX，BY，CZ，X，Y，Z为垂足，求证：AX，BY，CZ交于一点．（图略）
分析
要证AX，BY，CZ相交于一点，可以考虑利用三角形三边垂直平分线交于一点的现有命题来证，只须构造出一个新三角形A′B′C′，使AX，BY，CZ恰好是△A′B′C′的三边上的垂直平分线，则AX，BY，CZ必然相交于一点．
证分别过A，B，C作对边的平行线，则得到△A′B′C′(图略)．由于四边形A′BAC、四边形AC′BC、四边形ABCB′均为平行四边形，所以AC′
=BC=AB′．由于AX⊥BC于X，且BC‖B′C′，所以AX⊥B′C′于A，那么AX即为B′C′之垂直平分线．同理，BY，CZ分别为A′C′，
A′B′的垂直平分线，所以AX，BY，CZ相交于一点H.
三角形的【高线】为什么交于一点？
如图，分别过A、B、C作对边的平行线构造出一个新的三角形，令过A、B的线交于点P，过A、C的线交于点Q，过B、C的线交于点R。
∵BR∥AC，BC∥PQ，∴APBC是平行四边形，∴PA＝BC。
∵AQ∥BC，AB∥QC，∴ABCQ是平行四边形，∴AQ＝BC。
由PA＝BC，AQ＝BC，得：PA＝AQ。
∵AD⊥BC，BC∥PQ，∴AD⊥QR。
由AD⊥QR，PA＝AQ，得：AD是PQ的中垂线。
同理，可证：BE是PR的中垂线。
∴点O是△PQR的外心，∴CO⊥AB，即：CF⊥AB。
任意三角形三条高为什么会交于一点
塞瓦定理
设O是△ABC内任意一点，
AO、BO、CO分别交对边于D、E、F，则
BD/DC*CE/EA*AF/FB=1
证法简介
（Ⅰ）本题可利用梅涅劳斯定理证明：
∵△ADC被直线BOE所截，
∴
CB/BD*DO/OA*AE/EC=1
①
而由△ABD被直线COF所截，∴
BC/CD*DO/OA*AF/BF=1②
②÷①:即得：BD/DC*CE/EA*AF/FB=1
（Ⅱ）也可以利用面积关系证明
∵BD/DC=S△ABD/S△ACD=S△BOD/S△COD=(S△ABD-S△BOD)/(S△ACD-S△COD)=S△AOB/S△AOC
③
同理
CE/EA=S△BOC/
S△AOB
④
AF/FB=S△AOC/S△BOC
⑤
③×④×⑤得BD/DC*CE/EA*AF/FB=1
利用塞瓦定理证明三角形三条高线必交于一点:
设三边AB、BC、AC的垂足分别为D、E、F，
根据塞瓦定理逆定理，因为(AD:DB)*(BE:EC)*(CF:FA)=[(CD*ctgA）/[(CD*ctgB）]*[(AE*ctgB)/(AE*ctgC)]*[(BF*ctgC)/
[(AE*ctgB)]=1，所以三条高CD、AE、BF交于一点。
为什么三角形的三条高总交于一点?
肯定交于一点，叫垂心。设三角形ABC二边上的高为AD，BE，交于H点，连CH延长交AB于F只要证明CF垂直AB即可；
BE⊥AC，AD⊥BC，在四边形DCEH中对角之和为180度，故四点在一个圆上，DEC=CHD(同弧圆周角），而四边形ABDE也在同一圆上（同在AB弦上90度），CED=B(外角等于内对角），而AHF=CHD(对顶角）=B,所以DBHF四点在一个圆周上,对角之和为180度,BFH+HDB=180度,所以BFC=90度,由此证明CF是AB上的高.
顺便讲一下，即使是钝角三角形三条高也交于一点，不过交于三角形之外而已。
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